Question

已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为

2

3

．
（1）求甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率；
（2）甲同学玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2次不中则游戏终止．设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X，求X的分布列．

Answer 1

分析：（1）正确理解题意：“甲同学投篮4次，恰有3次投”即从4次中选出三次C₄³，再结合概率的知识解决问题即可．
（2）根据题意可得本题主要考查相互独立事件的概率与分布列，写出X的可能取值，进而利用相互独立事件的概率进行求解．

解答：解：（1）设“甲投篮4次，恰有3次投进”为事件A，
则P(A)=

C

3 4

(

2

3

)3•(

1

3

)1=

32

81

．     
（2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5，6．
P(X=2)=

1

3

×

1

3

=

1

9

；    
P(X=3)=

2

3

×

1

3

×

1

3

=

2

27

；    
P(X=4)=(

2

3

+

1

3

)×

2

3

×

1

3

×

1

3

=

2

27

；    
“X=5”表示投篮5次后终止投篮，即“最后两次投篮未进，第三次投中，第一次与第二次至少有一次投中”．
所以P(X=5)=[1-

1

3

•

1

3

]•

2

3

•(

1

3

)2=

16

243

；    
P(X=6)=1-[P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)]=

164

243

．
所以，所求X的分布列为：

X	2	3	4	5	6
P	1 9	2 27	2 27	16 243	164 243

点评：解决此类问题的关键是将比较复杂的事件按照要求分解为比较简单的多个彼此互斥的事件，然后再根据公式进行计算．