Question

（本小题满分14分）已知函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）试探究当时，方程解的个数，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）;（Ⅲ）时，方程有两个解．

解析试题分析：（Ⅰ）依题意得，根据导数的几何意义即可求出斜率，再利用点斜式，即可求出曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）等价于对任意，，利用导数在函数单调性中的应用，以及利用导数求最值即可求出结果；（Ⅲ）设，，对进行分类讨论，即可求出结果.
试题解析：解：（Ⅰ）依题意得，， 1分
． 2分
所以曲线在点处的切线方程为． 3分
（Ⅱ）等价于对任意，． 4分
设，．
则
因为，所以， 5分
所以，故在单调递增， 6分
因此当时，函数取得最小值； 7分
所以，即实数的取值范围是．8分
（Ⅲ）设，．
①当时，由（Ⅱ）知，函数在单调递增，
故函数在至多只有一个零点，
又，而且函数在上是连续不断的，
因此，函数在上有且只有一个零点． 10分
②当时，恒成立．证明如下：
设，则，所以在上单调递增，
所以时，，所以，
又时，，所以，即．
故函数在上没有零点． 12分
③当时，，所以函数在上单调递减，故函数在至多只有一个零点，
又，而且函数在上是连续不断的，
因此，函数在上有且只有一个零点．
综上所述，时，方程有两个解． 14分
考点：1.函数的导数的应用；2.不等式的恒成立．