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(1)已知α,β都是锐角,且sinα=
5
5
,sinβ=
10
10
,求证:α+β=
π
4

(2)已知cos(α-β)=-
4
5
,cos(α+β)=
4
5
,且(α-β)∈(
π
2
,π)
(α+β)∈(
2
,2π)
,求cos2α,cos2β的值.
分析:(1)由α,β都是锐角,根据sinα与sinβ的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与cosβ的值,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(α+β),将各自的值代入求出cos(α+β)的值,根据α+β是第一象限角,利用特殊角的三角函数值求出α+β的度数,得证;
(2)根据α+β与α-β的范围,以及cos(α+β)与cos(α-β)的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sin(α+β)与sin(α-β)的值,所求式子变形后,利用两角和与差的余弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值.
解答:(1)证明:∵α,β都是锐角,
∴cosα=
1-sin2α
=
2
5
5
,cosβ=
1-sin2β
=
3
10
10

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=
2
2

∴α+β是第一、四象限角,
又∵0<α+β<π,
∴α+β=
π
4

(2)解:∵α+β∈(
2
,2π),cos(α+β)=
4
5

∴sin(α+β)=-
1-cos2(α+β)
=-
3
5

又∵α-β∈(
π
2
,π),cos(α-β)=-
4
5

∴sin(α+β)=
1-cos2(α-β)
=
3
5

∴cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=-
7
25

cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
点评:此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键.
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