【题目】经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间
内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：
（1）按分层抽样的方法从质量落在
，
的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有黄桃均以20元/千克收购；
B.低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
（参考数据：
）
【答案】（1）
（2）B
【解析】
（1）由题得黄桃质量在
和
的比例为
，记抽取质量在的黄桃为
，
，
，质量在的黄桃为
，
，列出取出2个的所有可能，找出其中质量至少有一个不小于400克的事件个数，根据古典概型即可求解（2）分别计算两种方案的收益，比较收益大小即可确定需选择的方案.
（1）由题得黄桃质量在和的比例为，
∴应分别在质量为和的黄桃中各抽取3个和2个.
记抽取质量在的黄桃为，，，质量在的黄桃为，，
则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，故所求概率为.
（2）方案
好，理由如下：
由频率分布直方图可知，黄桃质量在
的频率为
同理，黄桃质量在
，
，，，
的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05
若按方案收购：
∵黄桃质量低于350克的个数为
个
黄桃质量不低于350克的个数为55000个
∴收益为
元
若按方案
收购：
根据题意各段黄桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为
（元）
∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.
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【题目】四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用
，
，
，
四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线围城的各区域上分别标有数字，，，的四色地图符合四色定理，区域
和区域
标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】
央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下
春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内.
（1）从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶。现在有
材料、
材料供选择，研究人员对附着在材料上再结晶做了
次试验，成功
次；对附着在材料上再结晶做了次试验，成功
次.用二列联表判断：是否有
的把握认为试验是否成功与材料和材料的选择有关？
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成功 | ||
不成功 |
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及
胶层；②石墨烯层；③银浆线路；④表面封装层。前三个环节每个环节生产合格的概率为
，每个环节不合格需要修复的费用均为
元；第四环节生产合格的概率为
元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？
附：
，其中
.
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【题目】已知抛物线
的焦点为
为抛物线
上位于第一象限内的点，过点
的直线
交抛物线于另一点
，交
轴的正半轴于点
．
（1）若点的横坐标为
，且
与双曲线
的实轴长相等，求抛物线的方程；
（2）对于（1）中求出的抛物线，若点
，记点关于轴的对称点为
（不同于点），直线
交轴于点
．
①求证：点的坐标为
；
②若
，求点到直线
的距离
的取值范围．
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【题目】选修4－4：坐标系与参数方程(本题满分10分)
在平面直角坐标系中，将曲线
向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的
，得到曲线
，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为
．
（1）求曲线的参数方程；
（2）已知点
在第一象限，四边形
是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．
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【题目】关于函数
，
.有下列命题：
①对
,恒有
成立.
②
,使得
成立.
③“若
,则有
且
.”的否命题.
④“若且,则有
.”的逆否命题.
其中，真命题有_____________.（只需填序号）
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【题目】据史载知，新华网：北京2008年11月9日电，国务院总理温家宝主持召开国务院常务会议，研究部署进一步扩大内需促进经济平稳较快增长的措施，以应对日趋严峻的全球性世界经济金融危机.在提高城乡居民特别是低收入人群的收入水平政策措施的刺激下，某零售店当时近5个月的销售额和利润额数据统计如下表：
月份 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售额 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利润额 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
（1）若
与
之间是线性相关关系，求利润额关于销售额的线性回归方程
；
（2）若9月份的销售额为8千万元，试利用（1）的结论估计该零售店9月份的利润额.
参考公式：
，
.
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【题目】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
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企业数 | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
附：
.
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