Question

【题目】已知抛物线的焦点为为抛物线上位于第一象限内的点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点．

（1）若点的横坐标为，且与双曲线的实轴长相等，求抛物线的方程；

（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为（不同于点），直线交轴于点．

①求证：点的坐标为；

②若，求点到直线的距离的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①见证明； ②

【解析】

（1）由题意得，故，于是可得抛物线方程．（2）①设直线的方程为，代入抛物线方程后得到关于的二次方程，然后结合根与系数的关系及三点共线并由向量的共线可证得结论成立；②由可得为等腰直角三角形，所以，整理可得，两边平方后结合根与系数的关系得到，且．再由题意得到，令，可得，最后构造函数可得所求范围．

（1）由题意，知，

∵与双曲线的实轴长相等，

∴，解得，

∴抛物线的方程为．

（2）①由题意，可设直线的方程为，

由消去整理得，

∵，

∴．

设，则，

由题意得，

设点坐标为，则，

由题意知，

∴，

即．

又，

∴，

显然，

∴，

∴点的坐标为．

②由题意，为等腰直角三角形，

∴，即，

∴，

∴，即，

∴，且，

又，所以．

又点到直线的距离．

令，则，且，

∴．

设，则在上为减函数，

∴，即，

∴的取值范围为．