【题目】如下图,在四棱锥中,
面
,
,
,
,
,
,
,
为
的中点。
(1)求证:面
;
(2)线段上是否存在一点
,满足
?若存在,试求出二面角
的余弦值;若不存在,说明理由。
【答案】(1)见解析;(2)存在点,满足
,二面角
的余弦值为
。
【解析】
试题分析:(1)要证平面
,只要在平面
内找到一条直线与
平行即可,取
的中点
,构造平行四边形
即可证明;(2)以
分别为
轴建立空间直角坐标系
,写出点
的坐标,假设
上存在一点
使
,利用空间向量知识可得到在
上存在点
满足条件,平面
的一个法向量为
,再求出平面
的法向量,即可求二面角
的余弦值。
试题解析:(1)取的中点
,连
和
,过
点作
,垂足为
∵,
,∴
,又
∴四边形为平行四边形,
∴,在直角三角形
中,
∴,而
分别为
的中点,
∴且
,又
∴且
,四边形
为平行四边形,
∴
平面
,
平面
,∴
平面
。
(2)由题意可得,两两互相垂直,如图,以
分别为
轴建立空间直角坐标系
,
则,假设
上存在一点
使
,设
坐标为
,
则,由
,得
,
又平面的一个法向量为
设平面的法向量为
又,
,
由,得
,即
不妨设,有
则
又由法向量方向知,该二面角为锐二面角,
故二面角的余弦值为
。
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【题目】设数列的前
项和为
,
。
(1)求证:数列为等差数列,并分别写出
和
关于
的表达式;
(2)是否存在自然数,使得
?若存在,求出
的值;来若不存在,请说明理由。
(3)设,
,若不等式
对
恒成立,求
的最大值。
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【题目】大学毕业生小王相应国家“自主创业”的号召,利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店,该店购进一种今年新上市的饰品进行销售,饰品的进价为每件40元,售价为每件60元,每月可卖出300件,市场调查反映:调整价格时,售价每涨1元每月要少卖10件;售价每下降1元每月多卖20件,为获得更大的利润,现将饰品售价调整为(元/件)(
即售价上涨,
即售价下降),每月饰品销售为
(件),月利润为
(元).
(1)直接写出与
之间的函数关系式;
(2)如何确定销售价格才能使月利润最大?求最大月利润;
(3)为了使每月利润不少于6000元,应如何控制销售价格?
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【题目】对定义在区间上的函数
和
,如果对任意
,都有
成立,那么称函数
在区间D上可被
替代,D称为“替代区间”.给出以下命题:
①在区间
上可被
替代;
②可被
替代的一个“替代区间”为
;
③在区间
可被
替代,则
;
④,则存在实数
,使得
在区间
上被
替代;
其中真命题的有
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【题目】关于下列命题:
①若一组数据中的每一个数据都加上同一个数后,方差恒不变;
②满足方程的
值为函数
的极值点;
③命题“p且q为真” 是命题“p或q为真”的必要不充分条件;
④若函数(
且
)的反函数的图像过点
,则
的最小值为
;
⑤点是曲线
上一动点,则
的最小值是
。
其中正确的命题的序号是____________(注:把你认为正确的命题的序号都填上)。
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【题目】已知离心率为的椭圆
,右焦点到椭圆上的点的距离的最大值为3。
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆
上两个动点,直线
与椭圆
的另一交点分别为
,且直线
的斜率之积等于
,问四边形
的面积
是否为定值?请说明理由。
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