Question

函数f（x）=4x³+ax²+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[-3，1]上的最值。

Answer 1

解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b，
∵y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-12x，
∴，即，解得：a=-3，b=-18，
∴f（x）=4x³-3x²-18x+5。　
（2）∵f′（x）=12x²-6x-18=6（x+1）（2x-3），
令f′（x）=0解得：x=-1或x=，
∴当x＜-1或x＞时，f′（x）＞0，当-1＜x＜时，f′（x）＜0，
∵x∈[-3，1]，
∴f（x）在[-3，1]上无极小值，有极大值f（-1）=16，
又∵f（-3）=-76，f（1）=-12，
∴f（x）在[-3，1]上的最小值为-76，最大值为16。