Question

已知点P在曲线y=x3-

3

x上移动，在点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围是（　　）

• A．[0，

  π

  2

  ]
• B．[

  2

  3

  π，π]
• C．[0，

  π

  2

  )∪[

  5

  6

  π，π)
• D．[0，

  π

  2

  ]∪[

  2

  3

  π，π)

Answer 1

分析：根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系k=tanα，求出α的范围即可．

解答：解：∵y=x3-

3

x，
∴y′=3x²-

3

，
∴tanα=3x²-

3

，
∴tanα∈[-

3

，+∞）．
当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，

π

2

）；
当tanα∈[-

3

，0）时，α∈[

2π

3

，π）．
∴α∈[0，

π

2

）∪[

2π

3

，π）．
故选D．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用切线的斜率与倾斜角之间的关系k=tanα进行求解．