Question

15．用分析法证明：若a，b∈R⁺，a+b=1，则$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．

Answer 1

分析 寻找使不等式$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止．

解答 证明：要证$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2，
只要证（$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$）²≤4，
只要证a+b+1+2$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤4，
∵a+b=1，
∴即证$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤1
只要证ab+$\frac{a+b}{2}$+$\frac{1}{4}$≤1，
即证ab≤$\frac{1}{4}$．
由基本不等式可得a+b=1$≥2\sqrt{ab}$，
∴ab≤$\frac{1}{4}$成立，故原不等式成立．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．