Question

（本小题满分12分）

如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC，AB=BC=PC=1，D是PB上一点，且CD平面PAB，点E为PA的中点。

求异面直线AP与BC所成角的大小；

求二面角C-BE-A 的大小。

Answer 1

解法一：（1） PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB，

CD平面PAB，AB平面PAB，

CD AB。又，

AB 平面PCB                 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF、FC，则为异面直线PA与BC所成的角。

由（1）可得AB BC，CF AF，由三垂线定理，得PF AF，则AF=CF=1，PF=。

在Rt中，，异面直线PA与BC所成的角为8分

(2) 在中过点C作CG⊥BE，垂足为G，连结FA，，，为二面角C-BE-A的平面角，在中BC=1，CE=BE=，由面积相等得CG=，同理AG=，在中，由余弦定理得，，

所以二面角C-BE-A为。

解法二：（1）同解法一 ………………………………………………………4分

（2）由（1）AB 平面PCB  ，PC=1，AC=，以B为原点，如图建立空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（0，0，0）， C（1，0，0），P（1，0，1）

=（1，-1，1），=（1，0，0），则=1

异面直线AP与BC所成的角为8分

（3）设平面PAB的法向量为m=（x，y，z）=（0，-1，0），=（1，-1，1）

则，即，可取得m=（-1，0，1），设平面CBE的法向量为n=（x，y，z）

=（1，0，0），=（，，），则， 可取n=（0，-1，1）    Cos<m,n>=二面角C-PA-B大小的余弦值为 …………..12分