Question

3．如图所示是三棱锥D-ABC的三视图，若在三棱锥的直观图中，点O为线段BC的中点，则异面直线DO与AB所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 根据三视图可得AB=AC=2，BD=2，AB⊥AC，BC=2$\sqrt{2}$，AB⊥平面ABC．取AC的中点E，则∠DOE或其补角，即为异面直线DO与AB所成角．△DOE中，由余弦定理求得cos∠DOE 的值，可得结论．

解答 解：如图所示：根据三视图可得AB=AC=2，BD=2，AB⊥AC，BC=$\sqrt{{AB}^{2}{+AC}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AB⊥平面ABC．
取AC的中点E，则由O为BC的中点可得OE=$\frac{1}{2}$AB=1，OE∥AB，∴∠DOE或其补角，即为异面直线DO与AB所成角．
又DO=$\sqrt{{BD}^{2}{+BO}^{2}}$=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，DE=$\sqrt{{BD}^{2}{+BE}^{2}}$=$\sqrt{4+（4+1）}$=3，
△DOE中，由余弦定理可得cos∠DOE=$\frac{{DO}^{2}{+OE}^{2}{-DE}^{2}}{2DO•OE}$=$\frac{6+1-9}{2\sqrt{6}×1}$=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴异面直线DO与AB所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查几何体的三视图，异面直线所成的角的定义和求法，余弦定理，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．