Question

11．如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是②③④．

Answer 1

分析 正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）-DEF，
①，依题意，GH∥AD，而AD与EF异面，从而可判断GH与EF不平行；
②，假设BD与MN共面，可得A、D、E、F四点共面，导出矛盾，从而可否定假设，肯定BD与MN为异面直线；
③，依题意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判断GH与MN成60°角；
④，连接GF，那么A点在平面DEF的射影肯定在GF上，通过线面垂直得到线线垂直．

解答 解：将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）-DEF，如图：

对于①，G、H分别为DE、BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；
对于②，BD与MN为异面直线，正确（假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面）；
对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确；
对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A₁在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，
而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．
综上所述，正确命题的序号是②③④，
故答案为：②③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间直线间的位置关系，突出考查异面直线的判定、两直线所成的角的概念及应用，属于中档题．