Question

已知等差数列{a_n}的前3项和为3，前6项和为24．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞k对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由题意可知：
，解得：a₁=-1，d=2，
故a_n=-1+2（n-1）=2n-3；
（2）由（1）得：b_n===8•，
所以数列{b_n}是以b₁=2为首项，公比q=的等比数列，
则T_n==[1-]，
又T_n+1-T_n=[1-]-[1-]=2•＞0，
因此T_n单调递增，
故T_n的最小值为T₁=b₁=2，由2＞k及k∈N⁺，得k_max=1．
分析：（1）设出等差数列的首项和公差，由等差数列{a_n}的前3项和为3，前6项和为24，利用等差数列的前n项和的公式得到两个关于首项与公差的两方程，联立即可求出首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（2）把（1）求出的等差数列的通项公式代入中，化简得到数列{b_n}为首项是2，公比是、为的等比数列，根据等比数列的前n项的和表示出数列{b_n}的前n项和为T_n，由T_n+1-T_n大于0，得到T_n单调递增，所以T_n的最小值为2，列出关于k的不等式，求出不等式解集中k的最大正整数解即可．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列及等比数列的前n项和的公式化简求值，掌握数列的函数特征，是一道综合题．