Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积V；
（Ⅲ）求二面角E-AD-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明EF∥AD，利用线面平行的判定定理，可得EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求出V_P-ABCD=

1

3

S_矩形ABCD•PA，即可求四棱锥E-ABCD的体积V；
（Ⅲ）证明∠BAE为所求二面角的平面角，即可求二面角E-AD-C的大小．

解答： 解：（Ⅰ）∵E，F分别是PB，PC的中点
∴EF∥BC       …（1分）
∵BC∥AD
∴EF∥AD       …（2分）
∵AD?平面PAD，EF?平面PAD
∴EF∥平面PAD  …（3分）
（Ⅱ）∵AP=AB，BP=2，AP⊥平面ABCD
∴AB=AP=

2

    …（4分）
∵S_矩形ABCD=AB•BC=2

2

∴V_P-ABCD=

1

3

S_矩形ABCD•PA=

4

3

  …（5分）
∴V=

1

2

V_P-ABCD=

2

3

  …（6分）
（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD
∴AD⊥PA
∵ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∵AP∩AB=A
∴AD⊥平面ABP
∵AE?平面ABP
∴AD⊥AE
∴∠BAE为所求二面角的平面角…（8分）
∵△ABP是等腰直角三角形，E是PB中点
∴所求二面角为45° …（9分）

点评：本小题主要考查直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质、棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于中档题．