Question

（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，侧棱PD垂直于底面，PD＝DC＝2BC，E为棱PC上的点，且平面BDE⊥平面PBC．

   （1）求证：E为PC的中点；

   （2）求二面角A-BD-E的大小．

Answer 1

解法一：（1）证明：如图，作CF⊥BE，垂足为F，

                由平面BDE⊥平面PBC，

                         则CF⊥平面BDE，知CF⊥DE．

                         因为PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，

CD为DE在平面ABCD内的射影，

                         所以BC⊥DE，所以DE⊥平面PBC．

                         于是DE⊥PC，又PD＝PC，所以E为PC的中点．………………6分

（2）作EG⊥DC，垂足为G，则EG∥PD，从而EG⊥平面ABCD．

                      作GH⊥BD，垂足为H，连接EH，则BD⊥EH，

                         故∠EHG为二面角A－BD－E的平面角的补角．…………………9分

                         不妨设BC＝1，则PD＝DC＝2，

                         在Rt△EGH中，EG＝PD＝1，

                          GH＝＝，

                         ∴tan∠EHC＝＝．

                         因此二面角A－BD－E的大小为－arctan．……………………12分

解法二：不妨设BC＝1，则PD＝DC＝2．

                  建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

                  则D(0，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)．

       （1）证明：设＝，则E(0，，)．

                  设a＝ (x₁，y₁，z₁)为面PBC的法向量，

                   则a⊥，a⊥，

                  又＝(1，0，0)，＝(0，－2，2)，

                  ∴a＝x₁＝0，a＝－2y₁＋2z₁＝0，

                  取a＝(0，1，1)．

                  设b＝(x₂，y₂，z₂)为面BDE的法向量，

                  则b⊥，b⊥，

                  又＝(1，2，0)，＝(0，，)，

                  ∴b＝x₂＋2y₂＝0，b＝＋＝0，

                  取b＝(，，1)．

                  ∵平面BDE⊥平面PBC，

                  ∴a·b＝＋1＝0，＝1．

                  所以E为PC的中点．…………………………………………6分

（2）由（Ⅰ）知，b＝(2，－1，1)为面BDE的法向量，

又c＝(0，0，1)为面ADB的法向量，

∵cos<b，c>＝＝，

所以二面角A－BD－E的大小为－arccos．………………12分