Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x-m-1）²+（y-2m）²=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值范围为（-$\frac{12}{5}$，-$\frac{2}{5}$）∪（0，2）．

Answer 1

分析 由已知得圆C：（x-m-1）²+（y-2m）²=4与圆O：x²+y²=9恰有两个交点，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：圆（x-m-1）²+（y-2m）²=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，
∴圆C：（x-m-1）²+（y-2m）²=4与圆O：x²+y²=9恰有两个交点，
圆C的圆心C（m+1，2m），半径r₁=2，
圆O的圆心O（0，0），半径r₂=3，
圆心距离|OC|=$\sqrt{（m+1）^{2}+（2m）^{2}}$=$\sqrt{5{m}^{2}+2m+1}$，
∴3-2＜$\sqrt{5{m}^{2}+2m+1}$＜3+2，
解得-$\frac{12}{5}$＜m＜-$\frac{2}{5}$或0＜m＜2．
∴实数m的取值范围为（-$\frac{12}{5}$，-$\frac{2}{5}$）∪（0，2）．
故答案为：（-$\frac{12}{5}$，-$\frac{2}{5}$）∪（0，2）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式及圆与圆的位置关系的合理运用．