Question

已知圆C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（a，0）．
（Ⅰ）当a=2时，若圆心为M（1，m）的圆和圆C外切且与直线l₁、l₂都相切，求圆M的方程；
（Ⅱ）当a=-1时，求l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值，并求此时直线l₁的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出所求的圆的半径r，利用和已知圆外切及圆心M（1，m）到点A（2，0）的距离为，求出半径r和m的值，写出所求圆的标准方程．
（2）设弦长分别为d₁，d₂，因为四边形AECF是矩形，应用勾股定理和基本不等式求d₁+d₂的最大值，由d₁，d₂的值结合弦长公式求出直线斜率，点斜式写出直线方程并化为一般式．
解答：解：（Ⅰ）设圆M的半径为r，由于圆M的两条切线互相垂直，故圆心M（1，m）到点A（2，0）的距离为，
∴，（4分）  解得r=2，且，
∴圆M的方程为．（7分）
（Ⅱ）当a=-1时，设圆C的圆心为C，l₁、l₂ 被圆C所截得弦的中点分别为E，F，弦长分别为d₁，d₂，
因为四边形AECF是矩形，所以CE²+CF²=AC²=1，即，（10分）
从而，等号成立，∴时，
∴，即l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值为． （13分）
此时，显然直线l₁的斜率存在，设直线l₁的方程为：y=k（x+1），
则，∴k=±1，∴直线l₁的方程为：x-y+1=0或x+y+1=0．（15分）
点评：本题考查圆的标准方程的求法、直线和园位置关系的综合应用．