Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，O∈AD，AD∥BC，AB⊥AD，AO=AB=BC=1，PO=$\sqrt{2}$，$PC=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）证明：平面POC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PA=PD，求CD与平面PAB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：OC⊥平面PAD，即可证明平面POC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PA=PD，点O作OE⊥PA于E，连结BE，则OE⊥平面PAB，∠OBE为CD与平面PAB所成的角，即可求CD与平面PAB所成角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：在四边形OABC中，
∵AO∥BC，AO=BC，AB⊥AD，
∴四边形OABC是正方形，得OC⊥AD，-----------------------（2分）
在△POC中，∵PO²+OC²=PC²，∴OC⊥PO，-------（4分）
又PO∩AD=O，∴OC⊥平面PAD，
又OC?平面POC，∴平面POC⊥平面PAD；-------------（6分）
（Ⅱ）解：连结OB，
∵OD∥BC，且OD=BC∴BCDO为平行四边形，∴OB∥CD，----------------------------（7分）
由（Ⅰ）知OC⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，
∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，----------------------------------------------------（8分）
过点O作OE⊥PA于E，连结BE，则OE⊥平面PAB，
∴∠OBE为CD与平面PAB所成的角，----------------------（10分）
在Rt△OEB中，∵$OE=\frac{PO•AO}{PA}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，$OB=\sqrt{2}$，
∴$cos∠OBE=\frac{BE}{OB}=\frac{{\sqrt{2-\frac{6}{9}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即CD与平面PAB所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．--------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查线面、面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．