Question

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是________．

Answer 1

分析：说明点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心，三棱锥S-ABC为正三棱锥，记SO=h（h＜a），求出AO，AB，表示出f（h），通过导数求出函数的最大值．
解答：∵点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，
∴点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心；又△ABC为正三角形，
∴O为△ABC的中心，即三棱锥S-ABC为正三棱锥．记SO=h（h＜a），则AO=，
于是有：AB=，记三棱锥S-ABC体积为f（h），
则f（h）=，f^/（h）=，
∴f_max（h）==．
故答案为：
点评：本题是中档题，考查立体几何与函数的导数的交汇题目，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．