Question

1．点（$\sqrt{2}$，2）在幂函数f（x）的图象上，点（-2，$\frac{1}{4}$）在幂函数g（x）的图象上．
（1）判断f（x）与g（x）的奇偶性；
（2）设h（x）=（$\frac{1}{3}$）^f（x），是否存在x₁∈R，x₂∈（0，1]，使h（x₁）=g（x₂）？若存在，求x₁，x₂的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法结合指数函数的性质进行求解即可．
（2）求出函数h（x）和g（x）的取值范围，判断方程是否有解即可．

解答 解：（1）设f（x）=x^α，g（x）=x^β，
∵点（$\sqrt{2}$，2）在幂函数f（x）的图象上，点（-2，$\frac{1}{4}$）在幂函数g（x）的图象上．
∴f（$\sqrt{2}$）=（$\sqrt{2}$）^α=2，即α=2，
g（-2）=（-2）^β=$\frac{1}{4}$=（-2）^-2，则β=-2，
即f（x）=x²，g（x）=x^-2，
则f（-x）=（-x）²=x²=f（x），g（-x）=（-x）^-2=x^-2=g（x），
故函数f（x）和g（x）都是偶函数．
（2）h（x）=（$\frac{1}{3}$）^f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}}$，
若x₁∈R，则x²≥0，则h（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}}$∈（0，$\frac{1}{3}$]，
若x₂∈（0，1]，则g（x₂）=x₂^-2∈[1，+∞），
则h（x₁）=g（x₂）无解，
故不存在x₁∈R，x₂∈（0，1]，使h（x₁）=g（x₂）．

点评 本题主要考查幂函数的解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．结合指数函数单调性的性质进行判断是解决本题的关键．