Question

13．若实数a，b满足$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2≥0}\\{b-a-1≤0}\\{a≤1}\end{array}\right.$，则$\frac{a+2b}{2a+b}$的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{7}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意作平面区域，化简$\frac{a+2b}{2a+b}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4\frac{a}{b}+2}$，从而可知$\frac{a}{b}$是过原点与阴影内的点的直线的斜率的倒数，从而解得．

解答 解：由题意作平面区域如下，
，
$\frac{a+2b}{2a+b}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4\frac{a}{b}+2}$，
$\frac{a}{b}$是过原点与阴影内的点的直线的斜率的倒数，
故当过点A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）时，k_OA=$\frac{\frac{3}{2}-0}{\frac{1}{2}-0}$=3，
故此时$\frac{a}{b}$有最小值$\frac{1}{3}$，
此时$\frac{a+2b}{2a+b}$有最大值$\frac{a+2b}{2a+b}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4•\frac{1}{3}+2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{10}$=$\frac{7}{5}$，
故选：C．

点评 本题考查了线性规划的应用及直线的斜率的应用，同时考查了化简运算．