Question

设函数f（x）=2x-cosx，{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，则[f(a3)]2-a1a3=______．

Answer 1

∵f（x）=2x-cosx，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=2（a₁+a₂+…+a₅）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₅），
∵{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，
∴a₁+a₂+…+a₅=5a₃，由和差化积公式可得，
cosa₁+cosa₂+…+cosa₅
=（cosa₁+cosa₅）+（cosa₂+cosa₄）+cosa₃
=[cos（a₃-

π

8

×2）+cos（a₃+

π

8

×2）]+[cos（a₃-

π

8

）+cos（a₃+

π

8

）]+cosa₃
=2cos

(a3- π 4 )+(a3+ π 4 )

2

cos

(a3- π 4 )-(a3+ π 4 )

2

+2cos

(a3- π 8 )+(a3+ π 8 )

2

cos

(a3- π 8 )-(a3+ π 8 )

2

+cosa₃
=2cosa₃•

2

2

+2cosa₃•cos（-

π

8

）+cosa₃
=cosa₃（1+

2

+

2+ 2

）
则cosa₁+cosa₂+…+cosa₅的结果不含π，
又∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，
∴cosa₃=0，故a₃=

π

2

，
∴[f(a3)]2-a1a3=π²-（

π

2

-2•

π

8

）•

π

2

=π²-

π2

8

=

7π2

8

，
故答案为：

7π2

8