Question

已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立．
（1）求的解析表达式；
（2）设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值．

Answer 1

（1）（2）

本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，求导的能力、运算的能力、问题转换的能力以及数形结合的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思．
（1）可以现设出二次函数的表达式，结合信息获得多项式相等进而利用对应系数相等解得参数，即可明确函数解析式；
（2）结合函数的解析式通过求导很容易求的在点P（t，f（t））处的切线l，由此即可表示出三角形的面积关于t的函数S（t）．从而利用导函数知识即可求得函数S（t）的最小值
解：（Ⅰ）设（其中），则，    ………1分
．
由已知，得，
∴，解之，得，，，∴． ……4分
（2）由（1）得，，切线的斜率，
∴切线的方程为，即．   …………6分
从而与轴的交点为，与轴的交点为，
∴（其中）．                         ………8分
∴．                 ……………10分
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．                 ……12分
∴．                        …………13分