Question

若定义在[a，b]上的函数f（x）=x³-3x²+1的值域为[-3，1]，则b-a的最大值是

 

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Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：本题先通过导函数研究函数的极值，再利用方程得到相应的边界点，然后解不等式得到x的取值范围，从而得到最大的区间[a，b]，求出b-a的最大值，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）=x³-3x²+1，
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴当x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，0）上单调递增；
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，2）上单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，f（x）有极大值，f（0）=1，
当x=2时，f（x）有极小值，f（2）=2³-3×2²+1=-3，
∵当f（x）=1时，x=0或x=3，
当f（x）=-3时，x=2或x=-1，
∴若-3≤f（x）≤1，则-1≤x≤3．
∴定义在[a，b]上的函数f（x）=x³-3x²+1的值域为[-3，1]，则b-a的最大值是1-（-3）=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了导函数与函数的最值，还考查了数形结合思想，本题难度适中，计算量略大，属于中档题．