Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方体，求：
（1）直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角的正切值；
（2）二面角B-AC₁-D的大小；
（3）求点A到平面BDC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）连接AB₁，说明AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影，推出∠C₁AB₁就是AC₁与平面AA₁B₁B所成的角，求出直线AC₁与平面AA₁B₁B所成的角的正切值即可．
（2）过B作BE⊥AC₁，垂足为E，连接ED，说明∠AEB是二面角B-AC₁-D的平面角，在△DBE中，求出二面角B-AC₁-D的大小即可．
（3）设点A到平面BDC₁的距离为h，通过VA-BDC1=VC1-ABD=

1

3

S△ABD•CC1，与VA-BDC1=VC1-ABD=

1

3

S△C1AD•h，求出A到平面BDC₁的距离．

解答：解：（1）连接AB₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体
∴B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影
∴∠C₁AB₁就是AC₁与平面AA₁B₁B所成的角
在△C₁AB₁中，tan∠C₁AB₁=

1

2

=

2

2

∴直线AC₁与平面AA₁B₁B所成的角的正切值为

2

2

．
（2）过B作BE⊥AC₁，垂足为E，连接ED
∵△ABC₁≌△ADC₁，
∴∠BAC₁=∠DAC₁
∵AB=AD，∠BAC₁=∠DAC₁，AE=AE
∴△ABE≌△ADE，
∴∠AEB=∠AED=

π

2

∴∠AEB是二面角B-AC₁-D的平面角
在△DBE中，BE=ED=

6

3

，BD=

2

，
∴cos∠AEB=-

1

2

，即∠AEB=120°
∴二面角B-AC₁-D的大小为120°．
（3）设点A到平面BDC₁的距离为h
∵VA-BDC1=VC1-ABD=

1

3

S△ABD•CC1=

1

3

×(

1

2

×1×1) ×1=

1

6

，
VA-BDC1=VC1-ABD=

1

3

S△C1AD•h=

1

3

×[

3

4

×(

2

)2]×h=

3 h

6

，
∴h=

3

3

，即A到平面BDC₁的距离为

3

3

．

点评：本题是中档题，考查直线与平面所成的角，点、线、面的距离，二面角的应用，考查空间想象能力，计算能力．