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已知z为虚数,且|2z+15|=
3
|z+10|

(1)求|z|;(2)设u=(3-i)z,若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上,求复数z;(3)若z2+2
.
z
为实数,且z恰好为实系数方程x2+px+q=0的两根,试写出此方程.
(1)设z=m+ni,且 m、n∈R,n≠0,则有|2m+15+2yi|=
3
|x+10+yi|,
∴(2m+15)2+4n2=3(m+10)2+3n2,化简可得 m2+n2=75.
∴|z|=
75
=5
3

(2)∵u=(3-i)z,若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上,
∴u=(3m+n)+(3n-m)i,3m+n+3n-m=0,∴
m=-2n
m2+n2=75

m=2
15
n =-
15
  或
m=-2
15
n =
15
.∴z=2
15
-
15
i,z=-2
15
+
15
i.
(3)∵z2 +2
.
z
=m2-n2+2m+2n(m-1)i 为实数,∴2n(m-1)=0,由n≠0可得 m=1.
又m2+n2=75,∴n=±
74

∴z=1+
74
i,或  z=1-
74
i.
由 z恰好为实系数方程x2+px+q=0的两根,利用根与系数的关系可得-p=1+
74
i+1-
74
i=2,
q=(1+
74
i )(1-
74
i )=75,故要求的方程为:x2-2x+75=0.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知z为虚数,且|z|=
5
,z2+2
.
z
为实数,若w=z+ai(i为虚数单位,a∈R)且z虚部为正数,0≤a≤1,求|w|的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知z为虚数,且|z|=
5
,若z2-2
.
z
为实数.
(1)求复数z;
(2)若z的虚部为正数,且ω=z+4sinθ•i(i为虚数单位,θ∈R),求ω的模的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知z为虚数,且|2z+15|=
3
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.
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为实数,且z恰好为实系数方程x2+px+q=0的两根,试写出此方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知z为虚数,且|z|=
5
,若z2-2
.
z
为实数.
(1)求复数z;
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