Question

已知集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|x²-4x+a=0，a∈R}．
（1）存在x∈B，使得A∩B≠∅，求a的取值范围；
（2）若A∩B=B，求a的取值范围．

Answer 1

分析：求出集合A中不等式的解集确定出A，求出集合B中方程有解时a的范围，表示出方程的解；
（1）根据存在x∈B，使得A∩B≠∅，确定出方程的解包含在集合A中方程的解集中，即可确定出a的范围；
（2）根据A∩B=B，得到B为A的子集，列出关于a的不等式，即可确定出a的范围．

解答：解：（1）集合A中的不等式变形得：（x-3）（x+1）＞0，
解得：x＞3或x＜-1，即A=（-∞，-1）∪（3，+∞）；
由集合B中的方程x²-4x+a=0有解，得到△=16-4a≥0，即a≤4，此时解为x=2±

4-a

，
若存在x∈B，使得A∩B≠∅，则有2+

4-a

＞3或2-

4-a

＜-1，
解得：a＜3，
则a的取值范围是（-∞，3）；
（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，
若B为空集，满足题意，此时a＞4；
若B不为空集，可得：2-

4-a

＜-1，解得：a＜-5，
综上，a的取值范围是（-∞，-5）∪（4，+∞）．

点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．