Question

已知数列{a_n}是以d为公差的等差数列，{b_n}数列是以q为公比的等比数列．
（Ⅰ）若数列的前n项和为S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，求整数q的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项b_k，使得b_k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；
（Ⅲ）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），求证：数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差等比数列的表达式a_n=2n，b_n=2•q^n-1，代入S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010直接求解即得到答案．
（Ⅱ）可以先假设数列{b_n}中存在一项b_k，满足b_k=b_m+b_m+1+b_m+2++b_m+p-1，再根据已知的条件去验证，看是否能找出矛盾．如果没有矛盾即存在，否则这样的项b_k不存在；
（Ⅲ）由已知条件b₁=a_r，得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+（s-r）d，和等差等比数列的性质，由数学归纳法求证数列中每一项是否都是数列中的项．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，a_n=2n，b_n=2•q^n-1，所以由S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，
可得到b₁+b₂+b₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010?b₁-4b₂+b₃＜2006-2010?q²-4q+3＜0．
解得1＜q＜3，又q为整数，所以q=2；
故答案为2．
（Ⅱ）假设数列{b_n}中存在一项b_k，满足b_k=b_m+b_m+1+b_m+2++b_m+p-1，
因为b_n=2ⁿ，∴b_k＞b_m+p-1?2^k＞2^m+p-1?k＞m+p-1?k≥m+p（*）
又bk=2k=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1=2m+2m+1++2m+p-1=

2m(2p-1)

2-1

=2^m+p-2^m＜2^m+p，所以k＜m+p，此与（*）式矛盾．
所以，这样的项b_k不存在；
故答案为不存在．
（Ⅲ）由b₁=a_r，得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+（s-r）d，
则d=

ar(q-1)

s-r

又b3=b1q2=arq2=at=ar+(t-r)d?arq2-ar=(t-r)•

ar(q-1)

s-r

，
从而ar(q+1)(q-1)=ar(q-1)•

t-r

s-r

，
因为a_s≠a_r?b₁≠b₂，所以q≠1，又a_r≠0，
故q=

t-r

s-r

-1．又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数，
所以q是整数，且q≥2，
对于数列中任一项b_i（这里只要讨论i＞3的情形），
有b_i=a_rq^i-1=a_r+a_r（q^i-1-1）
=a_r+a_r（q-1）（1+q+q²++q^i-2）
=a_r+d（s-r）（1+q+q²++q^i-2）
=a_r+[（（s-r）（1+q+q²++q^i-2）+1）-1]•d，
由于（s-r）（1+q+q²++q^i-2）+1是正整数，所以b_i一定是数列{a_n}的项．
故得证．

点评：此题主要考查等差等比数列的性质的应用，以及数学归纳法在数列中的应用，题目较为复杂，需要一步一步的分析求解，计算量要求较高，属于难题．