Question

已知点M，N的坐标分别为M(2cos2x，1)，N(1，2

3

sinxcosx+a)，(x∈R，a∈R，a是常数），且y=

OM

•

ON

（O为坐标点）．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x），并求出f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值，并说明此时f（x）的图象可由y=2sin(2x+

π

6

)的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

分析：（1）由已知中M，N的坐标分别为M(2cos2x，1)，N(1，2

3

sinxcosx+a)，(x∈R，a∈R，a是常数），可得

OM

=(2cos2x，1)，

ON

=(1，2

3

sinxcosx+a)，进而由向量数量积公式，求出函数关系式y=f（x），化为正弦型函数的形式后，即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦型函数的性质，根据x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，我们可以求出a值，进而根据函数图象的平移变换法则，得到平移方法．

解答：解：（1）∵M，N的坐标分别为M(2cos2x，1)，N(1，2

3

sinxcosx+a)，(x∈R，a∈R，a是常数），
∴

OM

=(2cos2x，1)，

ON

=(1，2

3

sinxcosx+a)
又∵y=

OM

•

ON

∴y=2cos2x+2

3

sinxcosx+a=1+2cos2x+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1（6分）
∵ω=2
∴f（x）的最小正周期T=π
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴当2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

时，y取最大值，此时2+a+1=4
∴a=1
此时y=2sin（2x+

π

6

）+2
∴只需将y=2sin(2x+

π

6

)的图象向上平移2个单位便可得y=f（x）的图象（7分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换法则，其中根据平面向量的数量积公式和辅助角公式，求出函数的解析式是解答本题的关键．