Question

设α∈（0，π），且α≠

π

2

，当∠xOy=α时，定义坐标系xOy为α-仿射坐标（如图），在α-仿射坐标系中，任意一点P的坐标这样定义“

e1

，

e2

分别是与x轴，y轴方向同向的单位向量，若向量

OP

=x

e1

+y

e2

，则记

OP

=（x，y），下列结论正确的是

 

（写上所有正确结论的序号）
①设向量

α

=（m，n），

b

=（s，t），若

α

=

b

，则有m=m，s=t；
②设向量

α

=（m，n），则|

α

|=

m2+n2

；
③设向量

α

=（m，n）

b

=（s，t），若

α

∥

b

，则有mt-ns=0；
④设向量

α

=（m，n）

b

=（s，t），若

α

⊥

b

，则有mt+ns=0；
⑤设向量

α

=（1，2）

b

=（2，1），若

α

与

b

的夹角为

π

3

，则有α=

2π

3

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：

e1

•

e2

=cosα．
①利用向量相等可得，m=s，n=t，即可判断出正误；
②利用向量是数量积运算性质即可判断出正误；
③利用向量共线定理即可判断出；
④利用向量垂直与数量积的关系即可判断出正误；
⑤利用向量数量积运算及其向量夹角公式即可判断出．

解答： 解：

e1

•

e2

=cosα．
①设向量

α

=（m，n），

b

=（s，t），若

α

=

b

，则有m=s，n=t，因此不正确；
②设向量

α

=（m，n），则|

α

|=

m2+n2+2cosα

≠

m2+n2

，因此不正确；
③设向量

α

=（m，n），

b

=（s，t），若

α

∥

b

，则有mt-ns=0，因此正确；
④设向量

α

=（m，n），

b

=（s，t），若

α

⊥

b

，则有ms+nt=0，因此不正确；
⑤设向量

α

=（1，2），

b

=（2，1），

α

与

b

的夹角为

π

3

，则|

a

|=

1+4+4cosα

=

5+4cosα

，|

b

|=

4+1+4cosα

=

5+4cosα

，

a

•

b

=(

e1

+2

e2

)•(2

e1

+

e2

)=2+2+5

e1

•

e2

=4+5cosα．∴cos

π

3

=

1

2

=

a • b

| a || b |

=

4+5cosα

5+4cosα

，化为cosα=-

1

2

，则α=

2π

3

正确．
综上可得：正确的结论为：③⑤．
故答案为：③⑤．

点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．