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已知函数f(x)=
x+1-a
a-x
(x≠a)

(1)当f(x)的定义域为[a+
1
2
,a+1]
时,求f(x)的值域;
(2)试问对定义域内的任意x,f(2a-x)+f(x)的值是否为一个定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由;
(3)设函数g(x)=x2+|(x-a)f(x)|,若
1
2
≤a≤
3
2
,求g(x)的最小值.
分析:(1)先将函数进行常数分离,然后根据定义域求出a-x的取值范围,再根据反比例函数求出
1
a-x
的取值范围即可求出所求.
(2)f(2a-x)+f(x)=
a-x+1
x-a
+
x+1-a
a-x
=
2(a-x)
x-a
=-2,对定义域内的所有x都成立.
(3)由a=1,得g(x)=x2+|x|(x≠-1)当x≥0时,g(x)=(x+
1
2
)2-
1
4
求得最小值;当x≤0时,g(x)=(x-
1
2
)2-
1
4
求得最小值,最后从中取最小的,作为函数的最小值.
解答:解:(1)函数f(x)=
x+1-a
a-x
(x≠a)
=-1+
1
a-x

当 a+
1
2
≤x≤a+1时,-a-1≤-x≤-a-
1
2
,-1≤a-x≤-
1
2
,-2≤
1
a-x
≤-1,
于是-3≤-1+
1
a-x
≤-2,
即f(x)值域为[-3,-2].
(2)∵f(2a-x)+f(x)=
a-x+1
x-a
+
x+1-a
a-x
=
2(a-x)
x-a
=-2,
对定义域内的所有x都成立,
∴对定义域内的任意x,f(2a-x)+f(x)的值是定值-2.
(3)解:当a=1时,g(x)=x2+|x|(x≠-1)
(ⅰ)当x≥0时,g(x)=(x+
1
2
)2-
1
4

则函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,
g(x)min=g(0)=0
(ⅱ)当x≤0时,g(x)=(x-
1
2
)2-
1
4

则函数g(x)在(-∞,0]且x≠-1时单调递减,
g(x)min=g(0)=0
综合得:当x≠-1时,g(x)的最小值是0.
点评:本题主要考查恒成立问题、分类常数法转化函数及分段函数求最值问题和分式函数的值域,解题时要认真审题,仔细解答.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在实数a,使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2,若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型:022

已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值,若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.已知函数f(x)=x2,x∈[-1,4]为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,则k的值是_________.

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

已知函数f(x)、g(x),下列说法正确的是( )
A.f(x)是奇函数,g(x)是奇函数,则f(x)+g(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)是偶函数
C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)一定是奇函数或偶函数
D.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)可以是奇函数或偶函数

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