Question

2．已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）讨论f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=e^x-e．利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．
（2）f′（x）=e^x-k，通过①k≤0时，②当k＞0时，利用导函数的符号，判断函数的单调性以及极值即可．

解答 解：（1）由k=e 得f（x）=e^x-ex，所以f′（x）=e^x-e．
由f′（x）＞0 得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），
由f′（x）＜0 得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．…4分
（2）f′（x）=e^x-k，
①k≤0时，f′（x）＞0 对x∈R恒成立，
所以此时f（x）在（-∞，+∞） 上单调递增，无极值； …..…6分
②当k＞0时，f′（x）=e^x-k=0 得x=lnk．
当x 变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，lnk）	Lnk	（lnk，+∞）
f’（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

因此当x=lnk时，f（x）取得极小值为k-klnk…12分

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．