Question

若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=

∫

x0

f(t)dt，x∈[0，1]，则下列对F（x）的性质描述正确的有______．
（1）F（x）是[0，1]上的增函数；
（2）F′（x）=f（x）；
（3）F（x）是[0，1]上的减函数；
（4）?x₀∈[0，1]使得F（1）=f（x₀）．

Answer 1

由定积分的集合意义可知，F（x）表示图中阴影部分的面积，且F′（x）=f（x），
当x₀逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，
所以F（x）为增函数，故（1）、（2）正确；
由定积分的几何意义可知，必然）?x₀∈[0，1]，使S₁=S₂，
此时S_矩形ABCO=S_{曲边三角形AOD}即F（1）=∫₀¹f（t）dt=f（x₀），故（4）正确．
所以对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）
故答案为：（1）（2）（4）