Question

20．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+2cosα}\\{y=3+2sinα}\end{array}\right.$（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=a（a∈R）．若曲线C₁与曲线C₂有且仅有一个公共点，求实数a的值．

Answer 1

分析 首先把曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+2cosα}\\{y=3+2sinα}\end{array}\right.$（α∈[0，2π]，α为参数）转化为：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-3）^{2}=4$，
进一步把曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=a（a∈R）转化为：$\sqrt{3}x+y-2a=0$．
再根据曲线C₁与曲线C₂有且仅有一个公共点，利用点到直线的距离等于半径求出相应的结果．

解答 解：曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+2cosα}\\{y=3+2sinα}\end{array}\right.$（α∈[0，2π]，α为参数）转化为：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-3）^{2}=4$，
曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=a（a∈R）转化为$\frac{1}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ=a$，
即：$\sqrt{3}x+y-2a=0$．
由于曲线C₁与曲线C₂有且仅有一个公共点，
所以：$\frac{|\sqrt{6}+3-2a|}{2}=2$
解得：a=$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$或$\frac{7+\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查的知识点：参数方程及极坐标方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．