Question

已知数列{a_n}的通项公式为an=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*).

设bn=

a2n-1

a2n

，Sn=b1+b2+…+bn．证明：当n≥6时，|Sn-2|＜

1

n

．

Answer 1

分析：由已知得，a2n-1=

2n-1+1

2

=n，a2n=2

2n

2

=2n，故bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，Sn=b1+b2++bn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3++n(

1

2

)n，由错位相减法知Sn=2-(n+2)(

1

2

)n．故|Sn-2|=(n+2)(

1

2

)n，问题转化为证明：当n≥6时，n（n+2）＜2ⁿ，再用数学归纳法证明．

解答：解：由已知得，a2n-1=

2n-1+1

2

=n，a2n=2

2n

2

=2n，
故bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，（2分）
Sn=b1+b2++bn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3++n(

1

2

)n（3分）

1

2

Sn=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4++(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1（4分）
两式相减得，

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1（5分）
化简得Sn=2-(n+2)(

1

2

)n．故|Sn-2|=(n+2)(

1

2

)n（7分）
因而|Sn-2|＜

1

n

?(n+2)(

1

2

)n＜

1

n

?n(n+2)＜2n
问题转化为证明：当n≥6时，n（n+2）＜2ⁿ，（9分）
采用数学归纳法．
（1）当n=6时，n（n+2）=6×8=48，2ⁿ=2⁶=64，48＜64，
此时不等式成立，（10分）
（2）假设n=k（k≥6）时不等式成立，即k（k+2）＜2^k，（11分）
那么当n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2k（k+2）=2k²+4k=k²+4k+k²＞k²+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）[（k+1）+2]
这说明，当n=k+1时不等式也成立（13分）
综上可知，当n≥6时，n（n+2）＜2ⁿ成立，原命题得证．（14分）

点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要注意合理地进行等价转化和数学归纳法的证明过程．