Question

已知函数f（x）=

2x-1，(x≤0) f(x-1)+1，(x＞0)

，把函数g（x）=f（x）-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（　　）

A．an= n(n-1) 2

B．an=n-1

C．an=n（n-1）

D．an=2n-2

Answer 1

当x∈（-∞，0]时，由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x=x+1．令y=2^x，y=x+1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（-∞，0]上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0．
当x∈（0，1]时，x-1∈（-1，0]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-1，由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x-1=x．令y=2^x-1，y=x．在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x=1．
当x∈（1，2]时，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-2+1，由g（x）=f（x）-x=2^x-2+1-x=0，得2^x-2=x-1．令y=2^x-2，y=x-1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2．
依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为a_n=n-1．
故选B．