Question

若函数f（x）=（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）的极大值为3，求a的值．

Answer 1

分析：由f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R），知f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x，令f′（x）=0，解得x₁=-a或x₂=-2，由a≤2，且f（x）的极大值为3，能求出实数a的值．

解答：解：由于f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x
=[x²+（2+a）x+2a]e^x
=（x+a）（x+2）e^x
令f′（x）=0，解得 x=-a或x=-2，
又∵a≤2，∴-a≥-2．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表所示：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

由表可知，当x=-2时，函数f（x）取得极大值3，即f（-2）=[（-2）²-2a+a]e^-2=3，解得a=4-3e²．
故若函数f（x）=（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）的极大值为3，则a的值为4-3e²．

点评：本题考查利用函数的极大值求参数问题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想及导数性质的合理运用．