Question

已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，△ABC的外接圆半径是

2

，且满足条件a²+b²=ab+c²．
（1）求角C与边c．
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式变形后代入，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，再利用正弦定理得到

c

sinC

=2R，把sinC及R的值代入，即可求出c的值；
（2）利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，把c及cosC的值代入，并利用基本不等式化简，可得出ab的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入，即可求出三角形面积的最大值．

解答：解：（1）∵a²+b²=ab+c²，即a²+b²-c²=ab，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，
又C为三角形的内角，
∴C=60°，
又△ABC的外接圆半径R=

2

，
∴由正弦定理

c

sinC

=2R得：c=2

2

sin60°=

6

；
（2）∵c=

6

，cosC=

1

2

，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：6=a²+b²-ab≥2ab-ab，
∴ab≤6，
∴S=

1

2

absin60°≤

3 3

2

，当且仅当a=b=

6

时等号成立，
则△ABC面积的最大值为

3 3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．