Question

12．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=$\frac{1}{3}$AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．
（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？
（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC，证明AD∥OP，即可证明AD∥平面MPC？
（Ⅱ）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离．

解答 解：（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC．
连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，∴OB=2OD，
∵PB=2PA，
∴OP∥AD，
∵AD?平面MPC，OP?平面MPC，
∴AD∥平面MPC；
（Ⅱ）由题意，AM⊥MD，平面AMD⊥平面MBCD，∴AM⊥平面MBCD，
∴P到平面MBC的距离为$\frac{1}{2}$，
△MBC中，MC=BC=$\sqrt{2}$，MB=2，∴MC⊥BC，∴S_△MBC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
△MPC中，MP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$=CP，MC=$\sqrt{2}$，∴S_△MPC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{\frac{5}{4}-\frac{2}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
设点B到平面MPC的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{4}h$，∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题．