Question

2．已知点P（-1，$\frac{3}{2}$）是椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知圆O：x²+y²=r²（0＜r＜b），直线l与圆O相切，与椭圆相交于A、B两点，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，求圆O的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：c=1，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）方法一：设A（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），B（-ρ₂sinθ，ρ₂cosθ），代入椭圆方程，由同角三角函数的基本关系，即${r^2}=\frac{{{ρ_1}^2{ρ_2}^2}}{{{ρ_1}^2+{ρ_2}^2}}=\frac{12}{7}$，即可取得圆O的方程；
方法二：设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算求得7m²=12k²+12，则点到直线的距离公式即可求得半径r，即可取得圆O的方程．

解答 解：（1）由题意可知：c=1，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$，则a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
（2）方法一：设圆O：x²+y²=r²；由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
可设A（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），则B（-ρ₂sinθ，ρ₂cosθ）
由条件得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{{ρ_1}^2}}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{4}+\frac{{{{sin}^2}θ}}{3}\\ \frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{{{{sin}^2}θ}}{4}+\frac{{{{cos}^2}θ}}{3}\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}+\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$
由r•|AB|=ρ₁ρ₂，得：${r^2}=\frac{{{ρ_1}^2{ρ_2}^2}}{{{ρ_1}^2+{ρ_2}^2}}=\frac{12}{7}$，
∴圆O：$O：{x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$；
方法二：设直线l的方程为y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
直线l与椭圆C交于A、B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+m²=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，则x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=0，
∴7m²=12k²+12，
∵直线l始终与圆x²+y²=r²（r＞0）相切，
∴圆心（0，0）到直线y=kx+m的距离：
d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{丨m丨}{\sqrt{\frac{7}{12}{m}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$=r，∴半径的r的值为$\sqrt{\frac{12}{7}}$，
圆O：$O：{x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．