Question

20．已知函数f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，任取t∈R，定义集合：${A_{t_{\;}^{\;}}}=\left\{{y|y=f（x）\;，\;\;点P（{t\;，\;\;f（t）}）\;，\;\;Q（{x\;，\;\;f（x）}）满足|{PQ}|≤\sqrt{2}}\right\}$．
设M_t，m_t分别表示集合A_t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M_t-m_t．则函数h（t）的最大值是2．

Answer 1

分析 理清A_t={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤$\sqrt{2}$}的含义为：表示以P点为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆及其内部函数y=sin$\frac{π}{2}x$的图象上所有的点的纵坐标的集合，再利用正弦函数的周期性、单调性与最值可求得M_t，m_t，从而可求得函数h（t））=M_t-m_t的最大值

解答 解：A_t={y|y=f（x），表示函数f（x）的值域，点P（t，f（t）），Q（x，f（x））
满足|PQ|≤$\sqrt{2}$}的含义为：
表示以P点为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆及其内部函数y=sin$\frac{π}{2}x$的图象上所有的点的纵坐标的集合，
∵f（-2）=f（0）=f（2）=0，f（1）=1，f（-1）=-1，设O（0，0），A（1，1），B（2，0），
则AO=AB=$\sqrt{2}$，
∴M_t=$\left\{\begin{array}{l}{1，4k≤t≤4k+2}\\{f（t）+\sqrt{2{-{（x}_{0}-t）}^{2}}，4k-2≤t＜4k}\end{array}\right.$，k∈Z，
其中，x₀是最高点Q的横坐标，
同理，m_t=$\left\{\begin{array}{l}{-1，4k-2≤t＜4k，k∈Z}\\{f（t）-\sqrt{2{-{（x}_{1}-t）}^{2}}，4k≤t＜4k+2}\end{array}\right.$，k∈Z．
其中x₁是最低点Q的横坐标．
∴函数h（t）的最大值是2（t=4k或4k+2时取得），
故答案为：2．

点评 本题考查函数的值域，着重考查抽象函数的理解与应用，明确A_t={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤√2}的含义是难点，也是解决问题的关键，考查抽象思维能力与综合运算能力，属于难题．