Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2asinB=$\sqrt{3}$b，cosC=$\frac{5}{13}$．
（1）求sinA的值；
（2）求cosB的值．

Answer 1

分析 （1）由2asinB=$\sqrt{3}$b，由正弦定理可得：2sinAsinB=$\sqrt{3}$sinB，sinB≠0，化简即可得出．
（2）利用同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．

解答 解：（1）∵2asinB=$\sqrt{3}$b，由正弦定理可得：2sinAsinB=$\sqrt{3}$sinB，sinB≠0，化为：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）由sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得cosA=±$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$±\frac{1}{2}$．
∵cosC=$\frac{5}{13}$，∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{12}{13}$．
∴cosB=-cos（A+C）=-[cosAcosC-sinAsinC]=-$[±\frac{1}{2}×\frac{5}{13}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{12}{13}]$=$\frac{12\sqrt{3}±5}{26}$．

点评 本题考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．