Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-\frac{1}{{3}^{x}}，x≥0}\\{0，x＜0}\end{array}\right.$
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若3^x•f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）=2即3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$=2，先解3^x，再解x值，注意3^x＞0；
（2）不等式3^t•f（2t）+mf（t）≥0恒成立，通过整理变形转化为3^2t+1+m≥0恒成立，分离参数m后转化为求函数最值问题解决

解答 解：（1）f（x）=2即3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$=2，得3^2x-2×3^x-1=0，∴3^x=1±$\sqrt{2}$，
又3^x＞0，∴3^x=1+$\sqrt{2}$，
∴x=log₃（1+$\sqrt{2}$）．
（2）∵3^t•f（2t）+mf（t）≥0，
∴3^t（3^2t-3^-2t）+m（3^t-3^-t）≥0，
∵t∈[1，2]，
∴3^2t+1+m≥0恒成立，即m≥-（3^2t+1）恒成立，
问题等价于m大于等于-（3^2t+1）的最大值-10，
∴m≥-10，
因此m的取值范围为[-10，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题及指数方程的求解，考查学生的分析问题解决问题的能力，恒成立问题往往转化为求函数最值问题解决，或分离参数后再求函数最值．