Question

6．若关于x的方程9^x+（4+a）3^x+4=0有解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-8]
• B． （-∞，-8]∪[0，+∞）
• C． （-∞，-4）
• D． [-8，4）

Answer 1

分析 方法一：令3^x=t＞0由条件可得a=$\frac{{t}^{2}+4t+4}{-t}$=-4-（t+$\frac{4}{t}$），利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围，
方法二，由题意可得方程 t²+（4+a）•t+4=0 有正数解，根据判别式非负可得①式，再由两根之积等于4＞0，可得 $\frac{4+a}{2}$＞0，得到②式，由①和②求得实数a的取值范围．

解答 解：方法一：令3^x=t＞0，则关于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0 即 t²+（4+a）t+4=0 有正实数解．
故 a=$\frac{{t}^{2}+4t+4}{-t}$=-4-（t+$\frac{4}{t}$），
由基本不等式可得 t+$\frac{4}{t}$≥4，当且仅当t=$\frac{4}{t}$时，等号成立，故-（t+$\frac{4}{t}$）≤-4，故-4-（t+$\frac{4}{t}$）≤-8，
即a≤-8，
方法二：△=（4+a）²-16≥0，∴a≤-8 或a≥0 ①．
再由两根之积等于4＞0，可得 $\frac{4+a}{2}$＞0，∴a＜-4 ②．
结合①②可得  a≤-8
故选：A

点评 本题考查方程有解问题、基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法，属于中档题．