Question

17．填空题：方程$\root{3}{x}|{sinπx}|=x-3\root{3}{x}$的解的个数为11个．

Answer 1

分析 x=0时，方程成立，当x≠0时，做出y=|sinπx|和y=$\root{3}{{x}^{2}}$-3的函数图象，根据函数图象交点个数判断解的个数．

解答 解：显然x=0是方程$\root{3}{x}|{sinπx}|=x-3\root{3}{x}$的解，
当x≠0时，由$\root{3}{x}|{sinπx}|=x-3\root{3}{x}$得|sinπx|=$\frac{x-3\root{3}{x}}{\root{3}{x}}$=$\root{3}{{x}^{2}}$-3，
做出y=|sinπx|和y=$\root{3}{{x}^{2}}$-3在（0，+∞）上的函数图象如图所示：

由图象可知两函数图象在（0，+∞）上有5个交点，
又y=|sinπx|和y=$\root{3}{{x}^{2}}$-3都是偶函数，
∴两函数图象在（-∞，0）上也有5个交点，
综上，方程$\root{3}{x}|{sinπx}|=x-3\root{3}{x}$共有11个解．
故答案为：11．

点评 本题考查了方程的根的个数与函数图象的关系，属于中档题．