Question

16．已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为$\sqrt{2}$，并且以椭圆$\frac{x^2}{11}+\frac{y^2}{7}=1$的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，可得双曲线的顶点坐标，利用双曲线的焦点到渐近线的距离为$\sqrt{2}$，求出b，可得a，即可求该双曲线的标准方程．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{11}+\frac{y^2}{7}=1$的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，
双曲线的焦点到渐近线的距离为$\sqrt{2}$，∴$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
∴该双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题给出双曲线满足的基本条件，求双曲线方程．着重考查了双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．