Question

4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，俯视图为一个矩形与它的一条对角线．
（1）用斜二测画法画出这个几何体的直观图；
（2）求该几何体的表面积；
（3）在几何体直图中，在线段PB上是否得在点M，使得PB⊥平面MAC，若得在，求线段PM的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）三视图复原几何体是四棱锥，一条侧棱垂直底面正方形，考查正方体的图形，即可得到这样的几何体．
（2）利用体积公式求解；
（3）AC⊥面PDB⇒PB⊥AC，要使PB⊥平面MAC，只需PB⊥AM即可，过A作AM⊥PB与M即可，利用面积等求AM．再求PM

解答 解：（1）视图复原的几何体是底面为 正方形，侧棱垂直底面，是正方体的一部分，几何体的直观图如图1所示；
（2）s_ADP=S_CDP=$\frac{1}{2}×4×4=8$，
∵AB⊥面PAD，BC⊥面PDC，∴S_PBC=S_PBA=$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
∴该几何体的表面积s=8×2+8$\sqrt{2}$×2+16=32+16$\sqrt{2}$．
（3）∵AC⊥DB，AC⊥PD，PD∩DB=D，∴AC⊥面PDB⇒PB⊥AC，
要使PB⊥平面MAC，只需PB⊥AM即可，
∴过A作AM⊥PB与M即可，
在Rt△PAB中，PA•AB=PB•AM⇒4$\sqrt{2}$×4=4$\sqrt{3}$×AM⇒AM=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴$PM=\sqrt{P{A}^{2}-A{M}^{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查了三视图，及几何体的表面积、线面垂直的动点问题，属于中档题．