Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，和均为等边三角形，且平面平面，点为中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若的面积为,求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】分析：（Ⅰ）证明线面平行，需在平面内构造一条线平行于已知直线，将直线沿平移，点至点处，则点应移至中点处，故取中点，连接、.

若证，则需证明、平行且相等，、需要以作为中间量.

（Ⅱ）根据两个等边三角形和面面垂直，假设一边长为x，表示的面积，解出x，求出三棱锥底面的面积.

因为为中点，所以三棱锥底面上的高为到底面距离的一半.

详解：（1）取的中点，连接，；取的中点,连接，

因为是正三角形，所以.

因为，所以四边形为矩形，

从而，.

因为为的中位线,

所以，，即，，

所以四边形是平行四边形，从而，

又面，所以面.

（2）取的中点，连接，则.

过点作交于.

因为，面面，面面

所以面.又因为面，所以.

又因为，，面，.

所以面，又因为面，所以.

由于为中点,易知.

设，则的面积为，

解得，从而，

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