Question

选修4-5，不等式选讲
己知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|
（I）若关于x的不等式f（x）＜|1-2a|的解集不是空集，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于t的一元二次方程t2-2

6

t+f(m)=0有实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值为4．因此，若不等式f（x）＜|1-2a|的解集不是空集，则[f（x）]_min＜|1-2a|，即4＜|1-2a|，解之即可得到实数a的取值范围；
（II）根据题意，利用一元二次方程根的判别式可得△=（-2

6

）²-4f（m）≥0，化简得|2m+1|+|2m-3|≤6．再根据m的取值范围进行分类讨论，分别去绝对值解关于m的不等式，最后取并集可得实数m的取值范围．

解答：解：（I）∵|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
∴f（x）=|2x+1|+|2x-3|的最小值为4，
又∵关于x的不等式f（x）＜|1-2a|的解集不是空集，
∴[f（x）]_min＜|1-2a|，即4＜|1-2a|，
可得1-2a＜-4或1-2a＞4，解之得a＜-

3

2

或a＞

5

2

．
即实数a的取值范围为（-∞，-

3

2

]∪[

5

2

，+∞）；
（II）关于t的一元二次方程t2-2

6

t+f(m)=0有实根，
即△=（-2

6

）²-4f（m）≥0，可得f（m）≤6，
∴|2m+1|+|2m-3|≤6，
①当m＜-

1

2

时，不等式可化为（-2m-1）+（-2m+3）≤6，解之得-1≤m≤-

1

2

；
②当-

1

2

≤m≤

3

2

时，不等式可化为（2m+1）+（-2m+3）≤6，
即4≤6，恒成立，故-

1

2

≤m≤

3

2

；
③当m＞

3

2

时，不等式可化为（2m+1）+（2m-3）≤6，解之得

3

2

＜m≤2．
综上所述，可得-1≤m≤2．
∴实数m的取值范围是[-1，2]．

点评：本题给出含有绝对值的函数，求使不等式解集不是空集的实数a的取值范围并讨论关于t的一元二次方程有实数解的问题．着重考查了绝对值不等式的解法、一元二次方程根的判别式等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．