如图,设椭圆:的离心率,顶点的距离为,为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于两点.
(ⅰ)试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明理由;
(ⅱ)求的最小值.
(1);(2)(ⅰ);(ⅱ).
【解析】
试题分析:(1)利用离心率可得,关系.由两个顶点距离可得,距离,由此结合可求得,的值,从而求得椭圆的标准方程;(2)分直线的斜率不存在与存在两种情况求解.当直线的斜率不存在时,情况特殊,易求解;当直线的斜率存在时,设直线的方程为与椭圆方程联立消去得到关于的一元二次方程,然后结合韦达定理与,以及点到直线的距离公式求解;(3)在中,利用=与,结合基本不等式求解.
试题解析:(1)由,得,
由顶点的距离为,得,
又由,解得,所以椭圆C的方程为.
(2)【解析】
(ⅰ)点到直线的距离为定值.
设,
① 当直线AB的斜率不存在时,则为等腰直角三角形,不妨设直线:,
将代入,解得,
所以点到直线的距离为;
② 当直线的斜率存在时,设直线的方程为与椭圆:,
联立消去得,
,.
因为,所以,,
即,
所以,整理得,
所以点到直线的距离=.
综上可知点到直线的距离为定值.
(ⅱ)在中,因为=
又因为≤,所以≥,
所以≥,当时取等号,即的最小值是.
考点:1、椭圆的性质;2、直线与椭圆的位置关系;3、点到直线的距离.
科目:高中数学 来源:2016届吉林白山市高一上学期期末考试数学卷(解析版) 题型:选择题
侧棱长为的正三棱锥的侧面都是直角三角形,且四个顶点都在一个球面上,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届重庆市高二上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
如图所示的“赵爽弦图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是______________.
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科目:高中数学 来源:2015届重庆市高二上学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届辽宁省沈阳市高二质量监测理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
将下列说法中,正确说法的序号填写在后面的横线上 .
①至少有一个整数x,能使5x-1是整数;
②对于;
③是的充要条件;
④若命题为周期函数;为偶函数,则为真命题.
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科目:高中数学 来源:2015届辽宁大连普通高中高二上学期期末考试理数学卷(解析版) 题型:解答题
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,为,的等差中项.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c的值.
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